☆ Inégalité des pentes

On admet le résultat suivant :  \(f\)  est une fonction convexe sur \(\mathbb R\)  si et seulement si pour tous réels \(a,b,c\)  tels que \(a,  \(\boxed{\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\leqslant\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a}\leqslant\dfrac{f(c)-f(b)}{c-b}}\) .

1. Soit \(f\) une fonction convexe sur \(\mathbb R\) . Démontrer que si  \(f\)  est bornée, alors elle est constante.

2. Soit \(f\)  une fonction convexe sur  \(\mathbb R\) .
    a. Démontrer que si \(f\)  est strictement croissante sur  \(\mathbb R\) , alors \(\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}f(x)=+\infty\) .
    b. Le résultat reste-t-il  valable si on suppose simplement que \(f\)  est croissante sur   \(\mathbb R\)  ?